HUKUM GAUSS dan Contoh Soal

 HUKUM GAUSS

Tujuan Pembelajaran :

1. Mengetahui pengertian dari garis - garis medan listrik

2. Memformulasikan Hukum Gauss

3. Mengetahui Kuat Medan Listrik bagi Ditribunsi Muatan Kontinu

   A.    Pengertian Garis – garis Medan Listrik

Garis – garis medan gravitasi adalah garis – garis bersambungna yang selalu berarah menuju massa sumber medan gravitasi. Makin rapat garis – garis medan gravitasi di suatu tempat berarti makin besar kuat medan gravitasi di tempat itu.           

         Hal yang sama dapat dijumpai dalam medan listrik, dimana listrik juga dapat divisualisasikan dengan menggunakan garis – garis medan listrik ( ada juga yang menyebut sebegai garis – garis gaya listrik ).

Tiga hal tentang garis – garis medan listrik :

1). Garis – garis medan listrik tidak pernah berpotongan

2). Garis – garis medan listrik selalu mengarah radial ke luar menjauhi muatan positif dan radial ke          dalam mendekati muatan negatif.

3). Tempat dimana garis – garis medan listrik rapat menyatakan tempat yang medan listriknya kuat. 

     Sedangkan tempat dimana garis – garis medan listrik renggang menyatakan tempat yang medan 

    listriknya    lemah.

             Gambar b menunjukkan foto pola garis – garis medan listrik yang dibentuk oleh biji – biji halus diantara dua elektroda titik yang muatannya berlawanan jenis. Susunan muatan seperti ini disebut dipol listrik. Dengan memperhatikan Gambar a secara seksama didapatkan : 

1.      Jumlah garis meda listrik yang meninggalakan muatan positif sama dengan jumlah garis medan listrik yang masuk ke muatan negatif.

2.      Garis garis medan listrik di dekat tiap muatan hampir radial.

3.      Garis – garis medan yang sangat rapat di dekat setiap muatan menunjukkan medan listrik yang kuat di sekitar daerah ini.

            

     Gambar 1a  Garis – garis medan listrik untuk dua muatan titik sama besar dan berlawana jenis. Perhatikan, banyaknya garis medan yang menjauhi muatan positif sama dengan banyak garis medan yang menuju ke muatan negatif. 2b Foto pola garis – garis medan yang dibentuk oleh biji – biji halus diatan dua elektroda titik (N dan S) yang muatannya berlawan.

    B.     Formulasi Hukum Gauss

     Pada bagian ini membahas tentang suatu teknik sederhana untuk menentukan kuat medan listrik bagi distribusi muatan kontinu yang dikembangkan oleh Karl Frieadrich Gauss ( 1777 – 1855 ). Beliau adalah salah seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang hukum matematika yang dipengaruhinya dan dia membuat kontribusi yang sama pentingnya untuk fisika teoritis.Gauss menurunkan hukumnya berdasar berdasar pada konsep garis – garis medan listrik yang telah di pelajari sebelumnya. Mari kita mulai dengan membahas konseo fluks listrik. Fluks listrik (Φ baca : phi) didefinisikan sebagai jumlah garis – garis medan listrik yang menembus tegak lurus suatu bidang.

Dengan penggambaran medan seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya garis medan yang menembus suatu permukaan. Perhatikan gambar di bawah:

 Gambar 2. Fluks Listrik yang menembus suatu permukaan.

           

 Gambar3. θ adalah sudut antara arah

Medan listrik serba sama E dan rah normal bidang n.  Arah Normal bidang adalah arah tegak lurus terhadap bidang.

Dan dapat dirumuskan sebagai berikut :

Φ = E . A                                            ...........  (1)

       Apabila garis-garis medan listrik yang menembus suatu bidang memiliki sudut maka rumus fluks        listriknya adalah sebagai berikut :

Gambar 4.Garis garis medan listrik yang menembus suatu bidang

Maka :

Φ = E . A Cos θ                                              ........... (2)

Keterangan :

Φ = Fluks Listrik (Weber)

E = Kuat Medan Listrik (N/C)

A = Luas Bidang (m²)

θ = Sudut antara E dengan garis normal

Dari konsep fluks listrik inilah, Gauss menemukan hukumnya. Hukum

Gauss menyatakan sebagai berikut.

“ Jumlah garis – garis medan listrik ( fluks listrik) yang menembus suatu

   permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang  dilengkupi

   oleh permukaan tertutup itu dibagi dengan permitivitas udara ε₀”.

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi (misalnya simetri bola, silinder, atau kotak). Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk permukaan tertutup tersebut dapat sembarang.

Hukum Gauss ini didasarkan pada konsep garis-garis medan listrik yang mempunyai arah atau anak panah seperti pada gambar di bawah : 

Gambar 5.Garis-garis medan listrik di sekitar muatan positif

Secara matematis, hukum Gauss dinyatakan dengan rumus berikut.

Dengan,

Φ = Fluks Listrik (Weber)

q = Muatan Listrik (Coloumb)

ɛ₀ = Permitivitas ruang hampa = 8,85 x 10^-12 c² N² m²

Untuk memahami hukum Gauss yang dinyatakan oleh persamaan diatas dapat dikembangkan ke sistem yang mengandung lebih dari satu muatan titik. Pada permukaan tertutup melingkupi q₁ dan q₂, sedang q₃ berada diluar permukaan tertutup.

Fluks listrik menembus permukaan akibat muatan q₁ adalah q1/ɛ₀ , akibat muatan q₂ adalah q2/ɛ₀ . Fluks listrik total yang menembus permukaan adalah q1+q2/ɛ₀, yang mungkin postif, negatif, atau nol, bergantung pada tanda dan besar kedua muatan.

Contoh Soal :

1.      Jika terdapat persegi dengan panjang sisi 20 cm, lalu bila sebuah medan listrik homogen sebesar 200 N/C ditembakkan ke arahnya dengan arah yang tegak lurus bidang persegi tersebut, berapa jumlah garis medan listrik yang menembus bidang persegi tersebut (fluks listrik)?

Jawab :
Luas Persegi = 20 x 20 = 400 cm² = 4 x 10^-2 m²
Jumlah Garis yang menembus bidang adalah
Φ = E. A
Φ = 200. 4 x 10^-2 m
Φ = 8 weber

2.      Sobat punya sebuah bidan lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Jika ada kuat medan listrik sebesar 200 N/C mengarah pada bidang tersebut dengan membentuk sudut 30⁰ terhadap bidang. Tentukan berapa fluks listrik tersebut?

Jawab :
Luas Bidang :

 Luas Lingkaran = π r² = 22/7 x 49 = 154 cm² = 1,54 x 10-2 m²
Cos θ = Cos 60^o
( θ = sudut yang dibentuk oleh E dan garis normal — lihat gambar sebelumnya –)
Φ = E. A.cos θ
Φ = 200. 1,54 x 10^-2 . 0,5
Φ = 1,54 weber

C.     Kuat Medan Listrik bagi Distribusi Muatan Kontinu

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik dari suatu sistem muatan atau muatan yang terdistribusi seragam. Tetapi dibatasi masalah untuk konduktor-konduktor yang memiliki simetri tinggi, seperti : konduktor dua keping sejajar dan konduktor bola berongga.

1). Kuat medan listrik untuk konduktor dua keping sejajar

Misalkan luas tiap keping A dan masing – masing keping diberi muatan sama tetapi berlawanan jenis +q dan –q. Didefinisikan rapat muatan listrik,σ, sebagai muatan per satuan luas .

                              

 ...........  (4)

      Sesuai persamaan 4, maka jumlah garis medan yang menembus keping adalah :

                                                                    ...........  (5)

Oleh karena medan litrik E menembus keping secara tegak lurus yang di tunjukkan pada gambar dibawah maka  θ = 0^o, dan cos θ = cos 0^o  = 1 sehingga persamaan diatas menjadi :

  

     Gambar 6. Konduktor dua keping sejajar dengan rapat muatan pada tiap – tiap keping adalah  + σ Arah medan E selalu dari keping muatan postif k keping bermuatan negatif.

     Dengan E = kuat medan listrik dalam ruang antara kedua keping (N/C) dan σ = rapat muatan keping (C/m²).

     Kuat  medan listrik di luar keping sama dengan nol sebab muatan listrik tidak terdapat di luar keping.

2). Kuat mdan listrik untuk konduktor bola berongga

        Bila konduktor berongga diberi muatan maka muatan itu tersebar merata di permukaan bola (didalam bola itu sendiri tidak ada muatan).Bagaimana kuat medan listrik di dalam bola, pada kulit bola, dan di luar bola ? Kita aka mnghitungnya denan menggunakan hukum Gauss.

     Dibuat permukaan I Gauss di dalam bola ( r < R ). Muatan yang dilingkupi oleh permukaan sama dengan nol sebab di dalam bola tidak ada muatan ( q = 0 ). Sesuai dengan persamaan :

                                  

Jadi, di dalam bola, kuat medan listrik sama dengan nol.

     

Sekarang dibuat permukaan II Gaus di luar bola ( r ˂ R ). Muatan yang dilingkupi oleh permukaan II ini sama dengan muatan bola q, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut .

   

     Gambar 7. Konduktor bola berongga dengan jari –jari R diberi muatan. Tampak muatan hanya berkumpul di permukaan bola sedangkan di dalam bola tidak ada muatan.

Kuatan medan listrik di luar bola, sesuai dengan persamaan :

Luas bola A = 4 πr²,sehingga

                  

Dapat disimpulkan bahwa kuat medan listrik untuk bola konduktor berongga yang diberi muatan adalah

 

Contoh Soal :

1.      Sebuah bola kecil bermuatan listrik 10 μC berada di antara keping sejajar P dan Q dengan muatan yang berbeda jenis dengan rapat muatan 1,77 × 10^-8 C/m². Jika g = 10 m/s² dan permitivitas udara adalah 8,85 × 10^-12 C²/Nm², hitung massa bola tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui: 

q = 10 μC = 10^-5 C

σ = 1,77 × 10^-8 C/m²

g = 10 m/s²

ε₀ = 8,85 × 10^-12 C²/Nm²

Ditanya: m = ... ?

Pembahasan :

  

Soal Latihan !

1.      Sebuah muatan titik sebesar 1,8 μC terletak di tengah – tengah sebuah kubus berjari – jari 55 cm.          Hitung fluks listrik yang menembus permukaan kubus tersebut!

 2.   Medan listrik disekitar permukaan bumi mempunyai arah vertikal ke bawah. Pada ketinggian 200        m medan listrik terukur sebesar 100 N/C sedangkan pada ketinggian 300 m medan listrik terukur        sebesar 60 N/C. Berapa jumlah muatan yang terdapat di dalam kubus berisi 100 m dengan     

       permukaan horizontal terletak pada ketinggian 200 m dan 300 m?

Referensi :

1.    Halliday, David; Robert Resnick, “Fisika Jilid 2”, Diterjemahkan oleh : Pantur Silaban Ph.D dan Drs.Edwin Sucipto, Jakarta: Erlangga, 1996.

2.    Sutrisno dan Tan, “Fisika Dasar : Listrik, Magnet dan Termofisika”, bandung, ITB, 1986.